Curta
Mode d’emploi
(Par Phil. C. Dailly)
La Curta (type I & type II) est une calculatrice mécanique de poche mise au point par Kurt Herzstark et commercialisée par Contina AG à 140 000 unités de 1947 à 1972 (date qui lui fut alors fatale à cause de l’arrivée sur le marché des premières calculettes électroniques).
La Curta n’est pas seulement la plus petite machine à calculer du monde entièrement mécanique, mais un magnifique joyau de micro-technologie s’articulant sur une invention géniale de Kurt Herzstark : le tambour à doubles ergots permettant de contourner la soustraction via l’addition.
(le type II est identique mais comporte davantage d’unités de calcul)
La Curta type I ressemble à un gros moulin à poivre noir :
- La manivelle : chaque tour à droite (sens des aiguilles d’une montre) effectue une addition en position basse et une soustraction en position haute. (Ne pas tourner la manivelle en sens opposé et ne jamais forcer un éventuel blocage !)
- Le chariot : articulé, il comporte sur sa face supérieure 2 cadrans :
o un totalisateur sur fond noir à 11 unités sur lequel s’affiche le résultat des opérations ;
o un compteur de tours sur fond blanc à 6 unités sur lequel s’affiche multiplicateur ou diviseur ;
... et gravés dessous, 11 chiffres dont on place les 6 premiers en face de la flèche blanche respectivement selon le niveau de dizaine requis. Pour ce faire, lever le chariot et le tourner.
- L’anneau de remise à zéro : le chariot levé, tourner l’anneau (déployé) dans le sens voulu pour remettre à zéro le totalisateur, le compteur ou les deux à la fois.
- Le cylindre : il comporte 11 curseurs et un cadran permettant d’afficher les nombres.
- L’inverseur de tours :
o en position haute : le totalisateur et le compteur tournent dans le même sens ;
o en position basse : ils tournent dans le sens contraire ;
- Les billes coulissantes : elles servent à indiquer les milliers et les décimales.
La calculatrice doit toujours être mise en position de repos avant toute opération, à savoir :
- Cadrans (totalisateur & compteur) : 0000...
- Curseurs du cylindre : 0000...
- Chariot : 1 (unités) sur flèche
- Manivelle : position basse (addition)
- Inverseur : position haute (même sens)
NB : les nombres relatifs négatifs (Z-) n’existent pas sur la Curta.
Ainsi l’opération 2-8 = -6 sera totalisée 99 999 999 994. Il convient donc de soustraire toujours le plus petit nombre du plus grand et non l’inverse : 8-2 = 6
> Exemple : 3 759,23 + 14 536,38 – 2589,74 = 15 705,87
Multiplication
(produit)
> Exemple : 12 489 X 9 863 = 123 179 007
Méthode simple et longue (pour débutants
> déconseillée)
> Il aura fallu ici 26 tours de manivelle (9 + 8 + 6 + 3)
Méthode rapide par report des dizaines
(conseillée)
Celle-ci est fondée sur le report continu des dizaines. Ainsi, ajouter 8, c’est ajouter 10 et retrancher 2 (c.-à-d. + 8 = + 10 – 2)
> Il aura fallu ici 13 tours de manivelle. Mais les 1 – et 1 + s’annulant, autant anticiper davantage en utilisant la méthode suivante :
> Il n’aura fallu ici que 9 tours de manivelle ! C’est la meilleure façon d’utiliser la Curta.
2 méthodes sont possibles :
-
l’une privilégie la soustraction à partir
du dividende (c’est la division classique)
> Objectif : réduire le dividende jusqu’à zéro ;
-
l’autre privilégie l’addition à partir du
diviseur (c’est la méthode courante)
> Objectif : augmenter le diviseur jusqu’au dividende.
NB : Dans la division comme dans la multiplication, on exploite au mieux le report continu des dizaines pour économiser les tours de manivelle. Il faut donc toujours essayer de faire au plus 5 tours de manivelle à chaque étape des dizaines.
On notera dans l’exemple ci-dessous la proximité unitaire entre 2 et 3, laquelle amène à préférer le report des dizaines comme on fait pour tout produit contenant des chiffres supérieurs à 5. Ainsi, pour 21 : 3, au lieu de soustraire 7 fois de suite 3 de 21, on soustraira une fois 30, puis on rajoutera 3 fois 3 (car 21 = 30 X 1 - 3 X 3). Soit une économie de 3 tours.
> Exemple : 25,7 : 3,14 = 8,1847
1e méthode à partir du dividende :
> Total des tours : 16
2e méthode à partir du diviseur :
1. Position de repos
2. Inscription de 3.14 avec curseurs (rangs 1 à 3 du cylindre) et bille des décimales entre 1 et 2
3. Chariot & tours de manivelle :
a. Chariot sur 6, puis 1 +
b. Chariot sur 5, puis 2 -
c. Chariot sur 4, puis 2 +
d. Chariot sur 3, puis 1 -
e. Chariot sur 2, puis 5 -
f. Chariot sur 1, puis 3 -
4. Lire les résultats :
a. 25.699958 sur le totalisateur
b. 8.1847 sur le compteur
> Total des tours : 14. On constatera que, dans ce cas, cette méthode est un peu plus avantageuse et facile.
NB : La division euclidienne (avec quotients et restes entiers) est plus pratique avec la Curta qu’avec une calculette électronique, du fait du principe des soustractions (ou additions) successives...
Toutes les autres opérations possibles avec la Curta ne sont que des constructions échafaudées à partir des 4 opérations de base. Elles appliquent en fait des algorithmes classiques d’arithmétique.
Contrairement à une calculette où il faut mémoriser les calculs intermédiaires, la Curta permet d’effectuer les opérations directement en cascade.
> Exemple : [(25,91 X 31) + (37,88 X 98)] : 25 = 180,618
> Total des tours : 20
Le principe sous-tendant ce calcul est une identité remarquable : (A + B)2 : A2 + B2 + 2AB
où A et B représentent les tranches d’unités du nombre dont on cherche la racine.
Ainsi 342 = (30 + 4)2 = 302 + 42 + 2 X (3 X 4)
> Exemple : extraire la racine carrée de 74 529 = 273
On notera le caractère fastidieux de la méthode dû aux calculs manuels faits à part ; la Curta n’apporte ici que son soutien mécanique...
Méthode approximative (mais rapide)
Ici aussi, on fait appel à une identité remarquable :
Si R est la racine recherchée de R2 ; E la racine connue la plus approchée en plus ou en moins ; e l’erreur d’approchement, on a :
R = E + e donc : R2 = (E + e)2 = E2 + 2Ee + e2
Si l’on néglige e2, il, suffit d’ajouter 2E à E2 autant de fois qu’il faut pour obtenir R2
La précision de R dépend donc de celle de E.
> Exemple : extraire la racine carrée de 20 = 4,5 (environ)
NB : le
calcul doit se faire par soustraction du double de la racine connue au lieu de
son addition quand le carré connu est supérieur à celui dont on cherche la
racine. Ex. : la racine de 22 se fera par approche de celle de 25 = 52
et non de 16 = 42 comme précédemment.
Plus on connaît précisément E, plus on connaît précisément R. Ainsi, on peut continuer à calculer la racine de 20 en partant de 4,52 = 20,25 ; on trouvera R = 4,47. Et ainsi de suite...
Même méthode où 2E devient 3E.
> Exemple : extraire la racine cubique de 12 = 2,3
Recherche du
plus grand commun diviseur (PGCD)
On applique l’algorithme d’Euclide.
> Exemple : PGCD (720,612) = 36
Donc : 36 est le PGCD. (le résultat du compteur est sans utilité)
Taux d’intérêt,
d’escompte, de taxes...
Prenons le cas fréquent de la TVA dont le taux français actuel est de 19,6 %
(196 = 200 -4, soit 6 tours de manivelle : 2 + puis 4 -)
> Calculer la TVA = 115,14 et le prix TTC = 702,59 du montant HT = 587,45 €